Uno de los enigmas fundamentales referentes al espacio y al tiempo es saber si son continuos o discretos, si son magnitudes o variables compuestas de elementos distintos —realidad discreta— o no —realidad continua—. Otra manera de decirlo consiste en preguntarse si se trata de conjuntos ordenados, de una o de varias dimensiones tales que entre dos elementos hay siempre otro: continuidad.

1. El enigma fundamental de las matemáticas referente al espacio, al tiempo y al movimiento

Al mostrar que el espacio y el tiempo pueden ser realidades continuas o discretas, Zenón de Elea (siglo V a.C.) llamó la atención sobre la aporía principal de la matemática y transmitida inmediatamente a la física matemática. Si aplicamos una pluralidad discontinua de elementos para explicar el movimiento, obtendremos que el movimiento no existe, y a la inversa, si afirmamos el movimiento, tendremos que concluir que su existencia refuta la hipótesis de una pluralidad discontinua de elementos. Ambas interpretaciones son atribuibles en principio a Zenón, aunque se piensa generalmente que su intención era explicar la idea de razón de su maestro Parménides quien quería refutar el movimiento considerándolo como el resultado de una ilusión sensorial.

Desde la época de Zenón dos opiniones se contraponen. Si el espacio y el tiempo son infinitamente divisibles —continuos—, es fácil imaginar que el movimiento es tal como los vemos, regular, suave y continuo. De acuerdo a la otra opinión, si el espacio y el tiempo están hechos de pequeños intervalos indivisibles, hay que imaginar que el movimiento está hecho de una sucesión de breves saltos bruscos, como una película. Las paradojas de Zenón son interpretables como si estuvieran dirigidas contra ambas teorías.

2. Aristóteles y las paradojas de Zenón

El estagirita (384 — 322 a.C.) describe cuatro paradojas, pero para nuestros propósitos es suficiente mencionar las tres primeras:

Zenón formuló cuatro supuestos sobre el movimiento que han producido gran perplejidad en cuantos han intentado resolverlos. Según el primero el movimiento es imposible, porque lo que se moviese tendría que llegar a la mitad antes de llegar al término final… El segundo argumento es el llamado de «Aquiles» y consiste en lo siguiente: el corredor más lento nunca podrá ser alcanzado por el más rápido, pues el perseguidor tendría que llegar primero al punto desde donde partió el perseguido, de tal manera que el corredor más lento mantendrá siempre la delantera… El tercero… pretende que la flecha que vuela está detenida. Esta conclusión solo se sigue si se admite que el tiempo consta de momentos, pero si no se admite este supuesto no se sigue la conclusión.

(Física, 239b)

La primera paradoja es representable en un diagrama mediante una sección de línea recta. Para ir del extremo izquierdo al extremo derecho hay que pasar por un número infinito de puntos debido a la división en dos de la sección completa, luego de la división en dos de la mitad derecha, y así sucesivamente. Es la paradoja de la dicotomía.

Veamos el argumento de Aquiles. Supongamos que este hombre corra 10 veces más rápido que la tortuga y que ella empiece la carrera con 1000 m de ventaja. Una vez que la tortuga llega al punto que marca 1100 m, Aquiles recorre el primer kilómetro, y cuando el reptil llega al punto que marca 1110 m, Aquiles está 10 m atrás, y cuando el hombre recorre esos 10 m, la tortuga le lleva una ventaja de 1 m, luego de 10 cm, luego de 1 cm, luego de 1 mm y así sucesivamente al infinito Aquiles no alcanza nunca a la tortuga.

El argumento está basado en la divisibilidad al infinito del espacio y en eso su estructura es idéntica a aquella de la paradoja de la dicotomía. Para desplazarse del punto A de un segmento de curva al punto B el móvil debe antes llegar al punto C que marca la mitad del intervalo, y antes de llegar ahí, debe pasar por el punto D que marca un cuarto de intervalo, y antes de eso debe haber recorrido un octavo, y así sucesivamente al infinito, por lo que el móvil no comienza nunca su movimiento. Quisiera hacer notar que hay en este razonamiento una fusión fundamental del acto práctico de medir una longitud y del acto imaginario que constituye el infinito, el continuo geométrico, y René Thom, como lo veremos hacia el final, ve en la construcción formalizada del continuo geométrico hecha por Zenón (1 = 1/2 + 1/4 + 1/8…) el origen de la primera ciencia, la geometría, y esto es tal vez el mérito principal de este filósofo aunque, como lo veremos enseguida, no es esa la única razón para rendirle homenaje.

Las otras dos paradojas están destinadas contra el carácter «cinematográfico» del movimiento, la ilusión que deja el paso rápido de imágenes estáticas donde dos imágenes sucesivas cualesquiera se diferencian muy poco una de otra. Veamos solamente la tercera, «la flecha». Contrario a las apariencias, lo vimos, la flecha que vuela no se mueve porque a cada instante está en reposo en un lugar determinado. En la matematización clásica del tiempo los puntos de una extensión se convierten en instantes.

¿Son los argumentos de Zenón lógicamente válidos o son solo acaso sofismas? La historia de las ideas enseña que las dos interpretaciones son posibles, sin embargo, la mayoría de los pensadores comparte la opinión autorizada del padre de la lógica, Aristóteles, quién vio en Zenón de Elea el fundador de la dialéctica. Este arte consiste en conceder provisoriamente al adversario una proposición y demostrar luego, lógicamente, que se llega a una contradicción, de donde se concluye que la proposición contradictoria al punto de partida era la verdadera, lo que se sigue, a su vez, de haber aceptado convencionalmente el principio del tercero excluido: la verdad y la falsedad agotan el número de valores que puede tomar una proposición.

Aristóteles, quien confiaba en la verdad producto de la percepción sensorial, creía tener refutaciones suficientes de las paradojas. Su objeción principal, como ocurre a menudo en los análisis del estagirita, es que Zenón confunde dos sentidos diferentes de «infinito», la divisibilidad y la extensión. Así, en un tiempo finito (como el tiempo que demora la tortuga en cubrir una cierta distancia), uno puede perfectamente entrar en contacto con algo infinito con respecto a la divisibilidad porque en ese sentido el tiempo es, él también, infinito, por lo que un lapso finito de tiempo basta para cubrir una distancia finita.

En cuanto a la flecha en el aire, su inmovilidad de acuerdo a la paradoja se debe, según Aristóteles, a la presuposición de que el tiempo se compone de unidades indivisibles —por eso Zenón afirma que en cualquier instante de su movimiento la flecha está en un lugar determinado— y la paradoja se desvanece si rechazamos la idea de que el tiempo se compone de instantes indivisibles. El tiempo sería entonces una realidad continua. Se ve ya lo difícil que es responder a Zenón en sus propios términos, y para impedir la formulación de las aporías hay que alejarse de él formalizando de otra manera el concepto de movimiento; es lo que se hace, por ejemplo, en la mecánica de Euler-Lagrange.

3. La contribución del cálculo infinitesimal

Dos mil años después de Zenón, los matemáticos piensan que cuantitativa y simbólicamente es posible resolver las paradojas del movimiento. Los aspectos cualitativos del movimiento son otro problema que veremos más adelante al exponer el punto de vista de Bergson. En efecto, el cálculo infinitesimal permitió precisar la noción de velocidad y el concepto dinámico de aproximación al límite. De acuerdo a este último concepto dinámico, tanto la distancia entre los puntos espaciales como el lapso entre los puntos temporales correspondientes tenderán también a cero, pero la relación entre esas dos magnitudes, la distancia y el lapso de tiempo, es decir, la velocidad en la conjunción de los dos puntos, tenderá hacia una cantidad finita. Nótese que la relación que resulta de la magnitud del espacio recorrido por un móvil con un período definido de tiempo da una cantidad fija, discreta. Así decimos que un automóvil atraviesa una línea a 50 km/h. De esta manera llega a ser posible concebir una velocidad definida en un punto singular, la cual es considerable algo así como uno de los puntos de reposo del objeto en movimiento.

4. Henri Bergson y los modelos físico-matemáticos de la realidad

Quien esté familiarizado con el antimecanicismo, el espiritualismo y el élan vital (fuerza vital) bergsoniano comprenderá que el filósofo francés no se haya dejado impresionar por las descripciones matemáticas del movimiento, del espacio y sobre todo del tiempo, ni por el alcance cualitativo de las soluciones fisicomatemáticas de las paradojas de Zenón. Bergson (1859 — 1941) ve en las paradojas de Zenón la confusión que resulta al tomar el modelo matemático por la realidad, y al rehusar al pensamiento matemático el valor de conocimiento, se inscribe en la tradición contraria a aquella inaugurada por el racionalista Parménides.

El número y la forma son, para Bergson, creaciones del intelecto incapaces de darnos lo íntimo de las cosas, y esta incapacidad se vería a todas luces en las paradojas. Si el movimiento no existe, si la flecha está quieta mientras vuela, si Aquiles no alcanza a la tortuga, es porque se aplica una curva matemática a un proceso real, como se hace en mecánica racional. Si abandonamos el movimiento real para estudiar las propiedades matemáticas de la curva, obtendremos una información errónea. El tiempo real no es una serie de instantes discretos adecuadamente representado por los puntos de una curva, y al contrario de lo presupuesto en la matemática relativista, la evolución de una partícula no comparte las características de la curva que es su línea de universo.

Una curva matemática puede ser fijada y analizada como si estuviera constituida de puntos homogéneos separables, luego el número de puntos puede ser concebido como un conjunto infinito, denso (entre dos puntos habrá siempre otro). La curva puede ser arbitrariamente dividida en cuantos segmentos homogéneos uno quiera, y antes de llegar a la mitad debe pasar por el punto que marca un cuarto del segmento total, etcétera. Todo eso es posible en la curva matemática, dice Bergson, pero no en el movimiento real. Los puntos de una curva pueden ser recorridos de izquierda a derecha e inversamente, imagen reversible del tiempo y del espacio según la mecánica. Pero el movimiento no es una extensión homogénea, produce algo nuevo —piénsese en el crecimiento de un ser vivo—, es continuo, duración pura, irreversible y simple. Un segmento de curva puede ser dividido en dos, pero un movimiento se comporta más bien como un elástico bien estirado (la imagen es de Bergson), y si se lo corta, se obtiene otra cosa totalmente diferente de la precedente.

La imagen de «pensamiento cinematográfico» es también de Bergson. La ilusión de explicación del movimiento de la física viene de que el análisis y la geometría están basados en observaciones hechas sobre el espacio ocupado por entidades que pueden ser consideradas como rígidas, discretas y reversibles, representadas por figuras o números inmutables, y si los hacemos desfilar rápidamente, no obtendremos un movimiento real sino una ilusión de movimiento gracias a la inercia de la visión.

Es imposible producir el movimiento con lo inmutable. Una vez entendida la afirmación bergsoniana de que la sustancia de las cosas es duración continua —nótese que lo continuo es una idea metafísica, imaginaria, que Bergson identifica con lo real— cuesta alejarse de la idea de que, para él, el vuelo de la flecha y la carrera de Aquiles y de la tortuga son más reales que la flecha, que el hombre y que el animal. En cambio, al otro extremo, para la tradición racionalista inaugurada por Parménides, solo la flecha, el atleta y el animal existen, pero no el vuelo ni la carrera. Lo insatisfactorio de ambas posiciones salta a la vista puesto que un sistema puede estar en un estado estable o en movimiento más o menos deformador del estado estable.

Zenón es también el iniciador del problema de la capacidad efectiva de las matemáticas de representar y explicar lo que ocurre en el mundo sensible. ¿Qué pensar de las matemáticas productoras de paradojas? ¿Cómo no rechazar, por ridícula, una teoría que permite la reversibilidad del tiempo, si alrededor nuestro vemos seres que nacen, se desarrollan y mueren, y nunca el proceso inverso?

5. Alfred North Whitehead y la importancia del estrato metafísico de las paradojas

Con su acostumbrado equilibrio, y poniendo de manifiesto en los razonamientos que siguen, parte de la influencia que reconoció a Bergson sobre su manera de pensar, A.N. Whitehead (1841 — 1947) quisiera hacer justicia al hecho de que tanto el móvil como el movimiento existen y se ataca a la base metafísica de las paradojas, dejando los problemas matemáticos y físicos en un segundo plano.

Por ejemplo, desde un punto de vista matemático, se sabe que la suma de una serie infinita de duraciones de medio segundo, de un cuarto de segundo y así sucesivamente, es un segundo, pero no se llega al total por medio de la simple aritmética y el carácter artificial del argumento matemático es poco propicio a convencernos de su suficiencia.

Revisar en cambio la base metafísica no tiene nada de artificial y Whitehead procede a dar la estructura metafísica de la realidad necesaria, según él, a la disolución de las paradojas. Whitehead cree que el mundo es, en su naturaleza última, el proceso del devenir de las entidades actuales, y el espacio y el tiempo no son un recipiente externo y preexistente a las entidades actuales. El espacio y el tiempo están derivados de las relaciones más fundamentales de la extensión que gobierna el devenir, por lo que no hay razón de principio por la cual el fondo de la naturaleza tenga necesariamente que ser continuo o discreto. Luego Whitehead interpreta las paradojas de Zenón como argumentos a favor de la idea de que la verdad metafísica última es el atomismo (partículas discretas). «El punto de vista cosmológico adoptado aquí es perfectamente consistente con las exigencias de discontinuidad requeridas por la física» (La ciencia y el mundo moderno, 1925, Cap. VIII La teoría cuántica, 1925).

Todo lo que precede muestra que las paradojas de Zenón conciernen tres estratos del mundo: el metafísico, el matemático y el físico. No habría paradoja si el trío compartiera la misma estructura. Tendríamos una solución definitiva si supiéramos cómo es la realidad última, pero es imposible acercarnos científicamente a ella sin un formalismo y sin hipótesis, lo que prejuzga la respuesta.

Las paradojas contra el movimiento son profundas porque nos obligan a construir nada menos que una metafísica del ser y del devenir, del espacio y del tiempo, y esa es la única manera frontal de responder a Zenón.

6. René Thom y el valor supremo de las aporías de Zenón

Termino este breve ensayo con una extensa citación de René Thom (1923 — 2002). Pone en ella de relieve el valor eminente, histórico y científico, que le reconoció a las paradojas de Zenón:

El primer razonamiento científico moderno, yo lo veo en las aporías de los eleatas. Hubo, en la aporía de Aquiles y la tortuga, una especie de connivencia entre el constructivismo de origen pragmático consistente en medir las longitudes, en juntarlas, y este imaginario fundamental que es el infinito, el continuo geométrico. Por primera vez, en la época de Zenón de Elea, se llegó a dominar este imaginario fundamental, el continuo geométrico, mediante una construcción formalizada: la suma de una serie, digamos uno igual 1/2 + 1/4 + 1/8 +... Creo que ese fue un descubrimiento absolutamente fundamental para el espíritu, para las estructuras mentales, y que es a partir de ahí que la geometría pudo realmente desarrollarse… — [es esta] la primera ciencia en sentido estricto del término — luego las otras ciencias, las matemáticas, la física, la química, la bioquímica, que nos trae más o menos de vuelta a la vida.

(René Thom, «Les Chemins du sens à travers les sciences», 1984)

No es este el lugar para examinar detenidamente esta opinión. Quisiera decir sin embargo que estas proposiciones reflejan una dificultad mayor del pensamiento y de la filosofía de la naturaleza, y reconocida en todas las épocas: la distancia que separa nuestra intuición de la unidad y de la continuidad de la naturaleza, la unidad y la continuidad de los estratos naturales que componen nuestro propio yo, por una parte, y la discontinuidad de los sistemas de símbolos con los cuales pensamos. Es un hecho profundo que limita lo pensable y que inspira la meditación.