Como en toda lógica, el primer paso es formalizar: seleccionar una serie de símbolos (un alfabeto) y determinar cómo los unimos para poder dar lugar a expresiones que consideramos correctas.

Para el resto de conectivas funciona de una forma similar, intentando capturar la noción intuitiva que podríamos tener para decir que determinadas expresiones, que en última instancia pueden llegar a representar enunciados del lenguaje natural, sean ciertas o no.

(Vicent Navarro)

El trabajo por el cual tú y tu equipo de trabajo han recibido este premio se centra en el ámbito de la lógica modal. Por ello, antes de entrar en detalles, ¿podrías empezar explicando qué es la lógica modal y cuál es su objeto de estudio?

Bueno, para ello primero habría que definir qué se entiende por «lógica». En pocas palabras, la lógica es un campo de estudio que, mediante ciertos recursos formales, estudia principalmente la idea de argumento correcto. La lógica se pregunta entonces cuándo podemos decir que, de unas premisas que asumimos como ciertas, podemos derivar una conclusión que también sea cierta. Indaga, por lo tanto, la idea de la preservación de la verdad entre premisas. Ahora bien, la lógica no es solo eso, la lógica también tiene una serie de reglas con cuya aplicación podemos transformar determinadas fórmulas lógicas para determinar la validez de las inferencias que realizamos a partir de ellas.

Dicho esto, cuando hablamos de lógica modal nos referimos a un tipo de lógica que, en concreto, se ocupa no solamente de estudiar el concepto de verdad o de preservación de la verdad, sino también de cómo podemos decir que algo es verdad. Por ejemplo, si yo digo que llueve, puedo determinar si esta afirmación es verdad o no, pero esa verdad se puede expresar de muchas formas. Puedo decir que llueve necesariamente o que es posible que llueva, como también que sé que llueve, que mañana lloverá, etc. Así, todos estos enunciados constituyen diferentes formas en las que podemos decir que una afirmación, como llover, es verdad. La lógica modal estudia precisamente esta idea, intenta formalizar todas estas nociones y equiparlas con una semántica y una sintaxis coherentes.

¿Y cómo intenta estudiar la lógica modal estas formas de presentación de la verdad o estas proposiciones que expresan este tipo de verdades?

Bueno, pues como en toda lógica, el primer paso es formalizar: seleccionar una serie de símbolos (un alfabeto) y determinar cómo los unimos para poder dar lugar a expresiones que consideramos correctas. En otras palabras, aquí la idea básicamente es crear un cierto lenguaje que esté desambiguado respecto del lenguaje natural, que es ambiguo, equívoco. A partir de ahí, ya podremos trabajar. Asimismo, consideramos el mismo lenguaje de la lógica proposicional: sus proposiciones y sus conectivas (la conjunción, la disyunción, la negación, etc.). Sin embargo, en lógica modal utilizamos además un símbolo: el cuadrado (◻). Este símbolo representa el operador modal con el que indicamos que la verdad que expresa un determinado enunciado es necesaria. Por ejemplo, para afirmar con nuestro lenguaje que necesariamente llueve, usamos nuestros símbolos, respetando la sintaxis que nuestras reglas prescriben, para construir la expresión ◻p, donde «◻» significa «necesariamente» o «es necesario que» y p simboliza la proposición «llueve».

Pues bien, este tipo de lógica tiene, por supuesto, un término dual de ◻, como se suele designar en lenguaje técnico, o sea, una contraparte de ◻, que es el rombo (♢) y que se interpreta como «es posible que» o «posiblemente». Por ello, de forma análoga al operador ◻, podemos expresar que posiblemente llueve como ♢p.

Definidos entonces el lenguaje y las reglas mediante las cuales se construye esta serie de expresiones (las fórmulas), para poder estudiar en lógica modal si estas fórmulas son verdaderas, se propone una semántica: la semántica de mundos posibles de Kripke, que es una formalización matemática del significado de todo este tipo de expresiones modales. Lo que propone la semántica de Kripke es una serie de modelos que pueden entenderse como escenarios o universos con base en los cuales puedes decir si es cierta o no una determinada expresión.

Estos universos están formados por una serie de mundos, a veces llamados estados, que podríamos entender de cierta forma como mundos paralelos (o realidades alternativas) al mundo actual. Estos son los elementos que conforman este universo en el modelo. Estos mundos, además, se relacionan entre ellos. Aquí vale aclarar que, a nivel formal, podemos entender una relación sin necesidad de recurrir a ningún significado extra, simplemente como una conexión entre un mundo y otro; pero también podemos entenderla a un nivel más filosófico, como si, partiendo del mundo actual, yo me relacionara con otro mundo alternativo o mundo posible si yo puedo concebirlo de alguna determinada forma.

Esta noción que subyace a la semántica de mundos posibles se remonta a Leibniz y encuentra posteriormente un desarrollo más formal en los trabajos de Kripke.

Dos conceptos muy presentes hasta ahora en tu explicación son los de semántica y sintaxis. En términos generales, ¿qué significa, en lógica, cuando se habla de cada uno de ellos?

En lógica, la semántica es un recurso formal que nos permite decir si determinadas fórmulas o expresiones son verdaderas. Por ejemplo, cuando afirmamos que en un mundo posible es el caso que llueve, lo que queremos decir simplemente es que la proposición «llueve», en efecto, se da en ese mundo posible. Sí, por ejemplo, la expresión que estoy diciendo es «llueve» o «nieva», la forma en la que yo, intuitivamente, puedo decir que eso es cierto o no en un mundo es comprobar que, si se da la primera opción, llueve, o si se da la segunda, nieva. Lo mismo se puede razonar para algún tipo de conjunción, como «llueve y nieva», será cierto si, en un determinado mundo del modelo de Kripke, se verifica que, por un lado, es el caso de que llueve y, por otro lado, que nieva.

Para el resto de conectivas funciona de una forma similar, intentando capturar la noción intuitiva que podríamos tener para decir que determinadas expresiones que en última instancia pueden llegar a representar enunciados del lenguaje natural sean ciertas o no.

Dicho de otro modo, la semántica vendría a interpretar entonces el lenguaje de la lógica que estamos estudiando.

Sí, básicamente esa es la idea. Nosotros tenemos un lenguaje, una forma que tenemos al expresar enunciados, y es con la propia semántica con la que podemos etiquetar esos enunciados como ciertos o falsos e identificar cómo se relacionan entre ellos en términos de su significado. Por ejemplo, si hay expresiones que son equivalentes en el sentido de que están diciendo exactamente lo mismo o que, por el contrario, no lo son, es una cuestión que entra en el campo de la semántica, que es en sí mismo el estudio sobre el significado de las expresiones.

En contraste, ¿qué debemos entender por «sintaxis”?

Bueno, la sintaxis es, por un lado, el recurso con el que determinamos cuáles son los símbolos del lenguaje que estoy utilizando y cómo podemos formar las fórmulas o expresiones que considero correctas con estos símbolos mediante una serie de reglas. Luego tenemos, de forma paralela, lo que viene siendo un cálculo, que es un poco lo que hacemos en matemáticas durante la primaria o secundaria al aprender reglas para sumar, restar o dividir, y, a partir de estas operaciones, podíamos inferir resultados.

Lo mismo pasa con el cálculo deductivo: tenemos una serie de reglas que nos permiten pasar de unos enunciados a otros de una forma que nosotros consideramos válida o aceptable. Por ejemplo, en el caso de las matemáticas, yo puedo decir que 2 más 3 es igual a 5, es decir, he inferido de «2 + 3», por definición de la operación suma, que tiene que ser igual a «5». Es un poco esta idea. Consideremos otro ejemplo empleando una regla de inferencia: si tengo una expresión como «A y B», entonces puedo inferir «A», porque, gracias a una regla que nos parece aceptable (que es que si tengo «A y B», entonces puedo concluir «A», pero, además, también puedo concluir «B»), entonces tengo «A».

Perfecto. Perfiladas las características principales de la lógica modal, hablemos del contenido del trabajo en el que participaste. De acuerdo con la presentación canónica de la semántica de Kripke, en los mundos posibles rige una sola lógica. Sin embargo, en tu paper muestras que cada uno de los mundos posibles de un modelo puede estar dotado de una lógica particular. ¿Cómo se llegó a esa conclusión?

Grosso modo, en nuestro trabajo efectivamente relajamos o estudiamos una asunción que se ha dado constantemente en la literatura, según la cual, en la semántica de Kripke, todos los mundos posibles debían regirse siempre por las mismas reglas lógicas. Es como si, haciendo una analogía, tuviéramos diferentes universos paralelos y supusiéramos que todos ellos se encuentran regidos por las mismas leyes de la física. Nosotros, en vez de considerar reglas físicas, consideramos reglas lógicas; la relajación vendría a ser indagar si necesariamente en cada uno de estos mundos se tiene que dar siempre el mismo tipo de lógica. De este modo, lo que nosotros hacemos es plantear una serie de modelos de Kripke en los que admitimos mundos con lógicas distintas. A estos modelos los llamamos «modelos mixtos».

En estos modelos hay mundos posibles en los que rige una lógica clásica, es decir, una lógica donde aceptamos la reducción al absurdo; pero también otros mundos en donde opera una lógica intuicionista, o sea, donde no aceptamos la reducción al absurdo. Por ello, cada mundo tiene sus reglas distintas, y lo que nosotros conseguimos demostrar en el paper es que, bajo estos modelos, podemos definir correctamente un tipo de lógica que los representa y que en realidad no hay ningún problema, que todo funciona bien si consideramos modelos de este tipo. Por tanto, de cierta forma, la conclusión de nuestro paper es, tal y como indica el título, la contingencia de la lógica en los mundos posibles, es decir, que no necesariamente tenemos que asumir siempre que en todos los mundos posibles debe darse la misma lógica. Podríamos tener, como en el caso de los universos paralelos, universos donde se den las mismas leyes físicas que en nuestro mundo y otros universos donde se den otras leyes físicas diferentes, y serían igualmente correctos y bien definidos.

¿En esta dirección se habían hecho previamente algunos avances o cómo se posicionan los resultados de tu investigación en el panorama actual sobre el tema?

Bueno, de lo que nosotros tenemos constancia es que hay, por ejemplo, autores como Martins y Freire que estudian el mismo caso, pero en vez de utilizar herramientas propias de la lógica modal, como hacemos nosotros en nuestro paper (documento), ellos prefieren utilizar técnicas de la lógica algebraica y del álgebra en general, aunque llegan a resultados similares. Otros intentos también se han hecho de forma más discreta, como en los trabajos de Mostagedi y en el campo de la lógica ecuménica del EIM-Pimentel. Todo ello lo referenciamos, por supuesto, en nuestro paper. Por tanto, es una cuestión que ya ha sido tratada, pero en nuestro caso la perspectiva es más novedosa.

Ahora bien, respecto a las motivaciones de la investigación, tengo que reconocer que a mí, desde hace tiempo, la lógica modal me vino de cierta forma impuesta, es decir, yo la descubrí no porque me haya venido un día la necesidad de estudiar lógica modal, sino porque básicamente me lo propusieron, y me pareció realmente interesante esta idea que empezamos a desarrollar: la de preguntarnos qué pasaría si hubiera mundos posibles con diferentes lógicas. Intentamos entonces plantear un estudio serio sobre este caso, imaginando qué tipo de lógica resultaría de unos modelos así, o qué tipo de implicaciones tendría sobre todo dentro de la lógica en general. Sin embargo, sí que es verdad que puede llegar a tener implicaciones y motivaciones filosóficas interesantes.

La motivación filosófica principal, como hemos dicho, es simplemente asumir que tal vez no tenemos por qué creer que en todos los mundos posibles tenga que regir la misma lógica; pero sí que es verdad que, comentándolo con otros filósofos, la importancia que puede llegar a tener esto en filosofía todavía no se ha explorado. Es parte de nuestro trabajo —o de aquellos interesados en el tema— intentar dar una coherencia filosófica a los resultados que hemos encontrado.

Las dos lógicas que tú consideras a lo largo del paper son la clásica y la intuicionista. ¿Este tipo de comparaciones se pueden extender a otros tipos de lógica?

Sí, efectivamente. Aunque los modelos mixtos, tal y como los definimos, son precisamente modelos que tienen mundos con lógicas clásicas e intuicionistas, también introducimos una noción más general de modelo mixto para una serie de familias arbitrarias de lógicas, pero nosotros los particularizamos al caso de la lógica clásica e intuicionista. Ahora bien, eso no implica, por supuesto, que sean las únicas lógicas que podamos estudiar así.

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Vicent Navarro.

Entonces, por ejemplo, ¿se puede considerar un modelo mixto en el que incluyésemos una lógica para consistentes y otra multivaluada?

Por supuesto que sería posible. No se ha explorado todavía, pero sería interesante. De hecho, en vez de considerar dos, podríamos considerar tres, cuatro, cinco, seis sistemas lógicos diferentes o más. También sería interesante, como mencionas, estudiar qué pasaría si consideráramos lógicas que tienen más de dos valores de verdad, como la lógica trivalente o la lógica multivaluada. Un caso que es más técnico, pero también bastante interesante, es estudiar qué pasaría si consideramos dos lógicas que sean incomparables, como, por ejemplo, la lógica de Gödel-Dummet y la de Bounded Death Doth, ya que la lógica clásica y la intuicionista son comparables, en tanto que, como he dicho antes, si a la lógica clásica le quitamos el axioma que representa la reducción del absurdo, nos quedamos con la intuicionista. En las lógicas incomparables esto no pasa: son realmente lógicas separadas.

Para las lógicas paraconsistentes seguro que sería también bastante interesante, sobre todo a nivel filosófico, como lógicas de la paradoja de Graham Priest y otros, o incluso se podría llegar a estudiar, como planteamos en el paper, con lógicas temporales. En nuestro trabajo sugerimos un poco la idea de que, al igual que tenemos lógica clásica y lógica intuicionista, según en qué mundos, también en física tenemos que el tiempo se puede comportar de forma distinta a nivel global, en un tipo de mundo X, o a nivel local, en otro tipo de mundo Y.

¿Los hallazgos de tu investigación podrían tener un impacto en otras áreas de la matemática o, incluso, en otros campos de estudio?

Bueno, simplemente por barajar hipótesis, pero sin saber realmente de lo que estamos hablando, en el caso de las matemáticas tal vez haya un impacto dado que en matemáticas podemos tener varios campos que, además de su objeto de estudio, se diferencien entre sí por el modo en que adoptan para razonar formalmente. Así, esta idea de intentar capturar cómo las distintas áreas de las matemáticas se relacionan entre ellas según cómo prefieren razonar, tal vez podría tener conexión con nuestro trabajo. Ahora bien, para casos más prácticos, no hemos explorado esa alternativa, pero no descartamos que pudiera llegar a tener algún tipo de aplicación en, por ejemplo, ciencias de la computación o incluso en sistemas de arquitecturas neuronales, donde cada neurona, tal vez, funciona de manera distinta, al igual que en nuestros modelos hay mundos que funcionan de manera distinta.

Ahora que el artículo ha sido reconocido con el Spanish Logic Prize, ¿piensas seguir desarrollando más sobre el tema desarrollado en el trabajo o hay algún tema que te interese en este momento explorar?

Creo que la investigación en la que acabamos de realizar es suficientemente interesante como para seguir explorando esta área, pero sí que es cierto que ahora mismo considero que hay una serie de temas bastante acuciantes hoy en día, como en el caso de la inteligencia artificial y cómo la lógica se puede relacionar con ella, como, por ejemplo, a través de grafos de conocimiento o de la IA neurosimbólica, entre otras técnicas que podrían ayudar, por supuesto, a un nivel práctico, aunque también podrían tener bastante desarrollo teórico. Ahora mismo me encuentro en una situación en la que me interesaría explorar tanto unas áreas como otras; pero sí que es cierto que lo ideal es conseguir financiación de cara a la realización de un doctorado en alguno de estos temas.

A pesar de que has mencionado que el trabajo tuvo ciertas motivaciones filosóficas, ¿qué peso tuvo la filosofía en el desarrollo de tu investigación?

Desde mi punto de vista, la filosofía fue la piedra que hizo rodar toda esta investigación, pero sí que es verdad que por el carácter tan lógico, matemático y formal de nuestra investigación, la mayoría del desarrollo en el paper usa exclusivamente herramientas de la lógica sin una necesidad directa de resultados o de cuestiones filosóficas. Sin embargo, eso no quita la importancia que pueden tener nuestros resultados en debates sobre, por ejemplo, el holismo lógico o sobre el pluralismo lógico, o si existe una única lógica verdadera, etc. De hecho, creemos que motivará toda esta discusión entre los filósofos, pero no creemos que la parte esencial de nuestro paper dependa exclusivamente de cuestiones filosóficas.

Vicent, gracias por concedernos esta entrevista y permitirnos saber un poco más sobre esta investigación de la que has hecho parte. Felicitaciones a ti y a tu equipo de trabajo por este premio. Muchos más éxitos en tu carrera académica.

Gracias a vosotros.