«Usted tiene dos cosas que perder: la verdad y el bien; y dos cosas que comprometer: su razón y su voluntad, su conocimiento y su bienaventuranza; y su naturaleza posee dos cosas de las que debe huir: el error y la miseria. Su razón no resulta más perjudicada al elegir la una o la otra, puesto que es necesario elegir. Ésta es una cuestión vacía. Pero ¿su bienaventuranza? Vamos a sopesar la ganancia y la pérdida al elegir cruz (de cara o cruz) acerca del hecho de que Dios existe. Tomemos en consideración estos dos casos: si gana, lo gana todo; si pierde, no pierde nada. Apueste a que existe sin dudar».

(Pascal)

En la historia de las matemáticas siempre han surgido problemas difíciles, paradójicos y muy, pero muy abstractos. Aunque muchas veces estos problemas son bastante técnicos, normalmente tienen que ver con situaciones de nuestra vida cotidiana u objetos y juegos que conocemos frecuentemente, como mapas mentales e incluso tableros de ajedrez. En esta entrada expondré algunos de esos problemas, que involucran el uso particular del concepto de infinito, y sobretodo la inclusión de un personaje netamente malévolo, al que deberemos vencer si queremos llegar a solucionarlos.

¿Podría el Diablo atrapar a un Ángel en un tablero infinito de ajedrez?

Apelaré a la imaginación del lector para que vislumbre un tablero de ajedrez infinito. Es un tablero que se extiende hacia todas las direcciones. En nuestro problema tendremos dos personajes: un Ángel y al Diablo en persona.

El Ángel en esta situación es una pieza de ajedrez. Tiene un poder de pelea de k siempre mayor a 1 (su ki) establecido antes de que el juego comience. El tablero está inicialmente vacío, con el Ángel en el origen. En cada turno, el ángel salta a otra casilla vacía, la cual podría ser alcanzada por un máximo de k movimientos correspondientes a los del Rey en ajedrez; es decir, la distancia a partir de la casilla inicial no es mayor que k (en otras palabras, puede hacer instantáneamente hasta k movidas tipo «Rey»). Pero el Diablo no es una pieza; él posee otro rango, es más bien un ser «omnipresente» (por aquello de que el mal está en todas partes). Su tarea consiste por supuesto en atrapar al Ángel, y para ello puede eliminar una casilla del tablero, la que se le antoje. El Diablo logra ganar si atrapa al Ángel, de modo que ya no pueda moverse en absoluto. El Ángel gana si puede escapar indefinidamente, o infinitamente.

Este problema es planteado por Conway en 1996. De hecho, la verdadera cuestión del problema es si existirá un poder suficientemente grande para que el Ángel pueda escapar, o si con cualquier poder el Diablo siempre lo atrapa. ¿Cuál es el menor poder que necesitaría?

Debe existir una estrategia ganadora para uno de los jugadores. Si el diablo puede forzar una victoria, entonces puede hacerlo en un número finito de movimientos. Si el diablo no puede forzar una victoria, entonces siempre hay un movimiento que el ángel puede hacer para evitar perder, y una estrategia ganadora para él, sería escoger siempre este movimiento.

Antes de que Conway planteara el problema, ya habían visto qué pasa con un Ángel de poder 1, es decir, un verdadero Rey en el ajedrez. Lo que sucede es que el Diablo siempre atrapa a los reyes. Sin importar cómo intente escapar el rey, el Diablo lo puede atrapar.

Después resultó que el problema del Ángel era más tratable en 3D. Ahí Martin Kutz en su tesis doctoral, pudo demostrar fácilmente que un Ángel con mucho poder se escapa. De modo paralelo, Bella Bollobás e Imre Leader lograron dar una demostración similar y la publicaron en el Journal of Combinatorial Theory.

Con estas demostraciones se respondió la pregunta original, pero posteriormente surgieron muchas otras preguntas ¿qué es lo mejor que puede pasar en 3D? ¿Qué pasa con el juego en otras geometrías? ¿El diablo se puede volver infinitamente más poderoso que el Ángel?

La oferta del diablo

Un día el criminal Fernando Velázquez muere y se va al infierno. El Diablo entonces le propone un juego de azar al que sólo podrá apostar una sola vez. Si gana, irá al cielo, y si pierde claro, arderá para siempre en el infierno.

El juego podría resumirse de este modo:

Si gana, lo gana todo; si pierde, no pierde nada en realidad.

Fernando, que posee «grandísimas habilidades matemáticas» sabe además que si juega el primer día, tiene 1/2 de posibilidades de ganar, si apuesta el segundo, tiene 2/3 de posibilidades de vencer, el tercer día 3/4, al cuarto 4/5, y así sucesivamente, de manera indefinida.

Obviamente, si permanece más días en el infierno antes de jugar, se incrementan sus posibilidades de ganar.

La pregunta es, ¿cuál es el momento más razonable para que Fernando pueda jugar?

Pues en realidad la respuesta no es para nada obvia: tras cada día de espera, siempre puede incrementar sus posibilidades de éxito ya que:

n/(n+1) < (n+1)/(n+2).

Por ejemplo, si el criminal espera un año para jugar, sus posibilidades de ganar son de:

365/366 = 0,997268.

Pero, si Fernando espera un año y un día, sus posibilidades de ganar son de:

366/367 = 0,997275,

Es decir, se incrementan en 0,000007. De cualquier forma, 0,000007 multiplicado por infinito –ir al cielo es el premio infinito– sigue siendo infinito…

La paradoja surge aquí porque pareciera que siempre conviene esperar un día más. Por mucho que te disguste el infierno y te guste el cielo, esperar un día más supone estar un día en el infierno a cambio de un aumento de la probabilidad de estar infinitos días en el cielo. Por pequeño que sea este aumento, es un aumento y es por infinitos días. Claro que sí; siempre merece la pena esperar, entonces te quedas siempre en el infierno, cosa que pues, tampoco quieres.... Esta lógica parece sugerir que Fernando debería esperar eternamente para jugar ¿no?

Pero, visiblemente, esta estrategia debe ser por la misma razón rechazada: ¿por qué quedarse para siempre en el infierno con la esperanza de incrementar la posibilidad de abandonarlo?

¿No sería mejor arriesgarse y jugar?

Esta es la falacia en la paradoja del diablo. La cuestión principal es que la paradoja asume una suma infinita de felicidad. Cada día en el cielo se supone que nos da felicidad, y una suma infinita de días nos da una suma infinita de felicidad(es). Multiplicada por un incremento de probabilidad, por pequeño que ésta sea, nos da un incremento de felicidad infinito si esperamos un día más, puesto que el costo, es una infelicidad finita por estar un día más en el infierno. El problema es que no existe tal cosa como una suma infinita. Si el nivel de felicidad por pasar un día en el cielo es, digamos, X, estar toda la eternidad en el cielo no implica tener una felicidad de

X+X+X+…,

entre otras cosas porque tal operación no existe. La suma se define como una operación binaria que, por satisfacer ciertas propiedades (conmutativa, asociativa), se puede extender a la suma de finitos elementos, pero no a la suma de infinitos.

Cuando se cumplen ciertas condiciones, sí se puede hablar de sumas infinitas, sin embargo para ello la serie de sumas parciales tiene que converger. Así, se puede hablar de la suma de

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+…,

cuyo resultado es 1. Y se puede hacer, porque dando como resultado el límite de las sumas parciales, se mantienen las misma propiedades de las sumas finitas (operación cerrada, elemento neutro, elemento simétrico, conmutativa, asociativa). Para series no convergentes tal cosa no es posible.

Aunque dado todo lo anterior, la parte crucial siempre será: ¿qué es lo que hay que hacer, entonces para ganarle al diablo?

Tal vez aguantarle la cola, el trinche y los cuernos un tiempo finito y apostar tu alma al tercer día según las escrituras, sea la mejor alternativa.