Para 1911, Einstein a través de su principio de equivalencia, establecía que la gravitación entendida como una fuerza era solo una ilusión. Una piedra en caída libre no está sometida a ninguna fuerza gravitacional; por el contrario, lo que está presente –y percibimos– es la manifestación de la curvatura del espacio-tiempo que pasamos a denominar ‘gravedad’ ¿Cómo llega Einstein a esta conclusión? Veamos un poco el recorrido. Iniciemos con la ley de la gravedad de Newton, aquella que nos enseñaron en la escuela. La ley gravitacional newtoniana sostiene que todos los objetos del universo se atraen mutuamente.

En aquellos años dorados de escuela, nuestros amados profesores de física nos enseñaban que la ley de gravitación universal de Newton consistía en que la fuerza (representada con la letra F) existente entre dos cuerpos es igual al producto de sus masas M y mgr e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa (r2).

Esta ecuación ha gobernado por siglos la física debido a su poder predictivo. Sin embargo, a principios del siglo XX Einstein demostraría su inexactitud revolucionando la teoría gravitacional para siempre. Según Einstein, cuando físicos y astrónomos observaban fenómenos en los que intervenía la fuerza de la atracción gravitacional lo que veían realmente eran objetos reaccionando a la curvatura del espacio-tiempo y no a una «fuerza externa». En otras palabras, cuando Newton sostiene que una manzana cae al suelo desde el árbol debido a la fuerza de atracción gravitacional existente entre la manzana y la Tierra, lo que en realidad estaba experimentando era como la manzana quedaba «atrapada» en un hueco espaciotemporal producido por la masa de la Tierra. De manera más formal: la trayectoria de las partículas en caída libre en el seno de un campo gravitatorio depende únicamente de la estructura métrica de su entorno inmediato.

Bajo esta visión einsteniana la forma del espacio-tiempo influye en el movimiento de los cuerpos y, al mismo tiempo, son estos mismos cuerpos los que determinan la forma del espacio-tiempo. John Wheeler lo resume magistralmente de la siguiente forma: «la materia le dice al espacio cómo tiene que doblarse; y el espacio le dice a la materia cómo tiene que moverse».

Aunque Einstein recibió el reconocimiento por su teoría relativista el camino que siguió para poder desarrollar dicha teoría no estuvo exento de obstáculos. Y siempre, es necesario recordar y profundizar en el sacrificio que hacen los investigadores para llevar a cabo sus postulaciones, aunque en la mayoría de los casos no obtengan la grandeza y el reconocimiento mundial que obtuvo Einstein. De esto trata este pequeño escrito; de recorrer los pasos de Einstein y de quienes le acompañaron hacia la génesis de la maravillosa teoría relativista. Iniciaré con la contribución italiana.

Uno de los obstáculos más significativos que enfrento Einstein fue su carencia en matemáticas. Esta dificultad obstruía no solo la formulación del principio de equivalencia y covarianza general, sino también, la concreción formal entre espacio, tiempo, y gravedad. Asumiendo tal dificultad, Einstein emprende junto a su amigo Marcel Grossmann (además reconocido matemático y geómetra) la búsqueda del formalismo matemático para modelar su teoría necesitando ocho años para la concreción de una argumentación matemática detallada y razonada.1

La condición inicial en la teoría de Einstein es el cumplimiento de las leyes de la física independientemente del marco de referencia de donde se describan. A esta condición la denominó Einstein principio de covarianza general. Sin embargo, para argumentar la condición impuesta por la covarianza general, se necesitaba de un nuevo y emergente formalismo matemático: el análisis tensorial.

¿Quiénes desarrollan el análisis tensorial? En 1854 Bernhard Riemann, famoso matemático, presentó ante la Facultad de Filosofía de la Universidad de Göttingen su Habilitationsvortrag über die Hypothesen welche der Geometrie zu grunde Liegen. Uno de los problemas planteados (pero no resueltos) era determinar las condiciones bajo las cuales el elemento de línea, una forma cuadrática, se puede transformar bajo un cambio de coordenadas en una forma cuadrática con coeficientes constantes.

En 1869 Elwin Christoffel y Rudolf Lipschitz, ambos importantes matemáticos, publicaron algunos artículos en los cuales se abordaba y resolvía el problema planteado por Riemann. Aunque, tanto Riemann como Christoffel y Lipschitz, resuelven el problema asumiendo una de las formas cuadráticas a coeficientes constantes, la solución resultaba solo parcial. Era el turno de los matemáticos italianos. Tullio Levi-Civita y Gregorio Ricci-Curbastro ofrecían una solución completa reformulando las ideas geométricas de Riemann bajo el lenguaje tensorial al tiempo que dejan entrever los primeros desarrollos de la geometría riemanniana.

En la publicación Méthodes de Calcul Différentiel Absolu et Leurs Applications de 1900, Tullio Levi-Civitá y Gregorio Ricci-Curbastro establecieron la teoría de tensores. Levi-Civitá era entonces estudiante de Ricci-Curbastro quien años antes habría iniciado las ideas seminales del cálculo tensorial. Ricci-Curbastro da los primeros pasos hacia el desarrollo seminal del formalismo tensorial en 1890. Es bajo el estudio de la teoría de las invariantes diferenciales que, Ricci-Curbastro profundiza en los estudios de Eugenio Beltrami que le conducirán hacia el desarrollo tensorial.

Sus estudios, Principios de una teoría de formas diferenciales cuadráticas y Sobre los parámetros e invariantes de formas cuadráticas diferenciales2 muestran justamente el enfoque algebraico de la teoría de las formas diferenciales en estrecha analogía con las obras de Christoffel.

A partir de estas investigaciones Ricci-Curbastro interpreta analíticamente algunos algoritmos introducidos por Christoffel en el contexto de la geometría riemanniana, explícitamente, en términos de la noción de derivada. Consecuentemente, entre 1887 y 1889 al estudiar diversos tipos de ecuaciones diferenciales bajo el método de coordenadas curvilíneas de Gabriel Lamé, desarrolla las nociones de derivación covariante y campo tensorial.3

Tullio Levi-Civita hizo uso de los métodos tensoriales de Ricci-Curbastro en sus primeras investigaciones, principalmente en el campo fisicomatemático. Posteriormente ambos catedráticos publicarían su famoso Méthodes de Calcul Différentiel Absolu et Leurs Application (1900), inspirándose en los estudios de F. Klein. Tras esta publicación, Ricci-Curbastro postula en 1904 el llamado ‘Tensor de Ricci’ presentando este desarrollo en Direcciones principales e invariantes en cualquier variedad publicado en Proceedings of the Royal Venetian Institute of Sciences.4 Ya en 1909, Levi-Civita había mostrado curiosidad por la teoría especial de la relatividad.

En 1914 Einstein escribió su primer artículo sobre la nueva teoría –la generalización de la teoría de la relatividad– Max Abraham, cuya teoría rivalizaba con la de Einstein, leyó el artículo de Einstein, pero no fue capaz de entenderlo. Abraham envío el artículo a Tullio Levi-Civita, quien se interesó por la postulación presentada por Einstein. Así, entre marzo y mayo de 1915 Levi-Civita y Albert Einstein inician un fértil intercambio de cartas (recordemos que a principios del siglo XX aun las bondades tecnológicas de las que disponemos hoy día no existían).

En una carta de Levi-Civita dirigida a Einstein en este periodo, el matemático italiano le señala a Einstein los errores a corregir. Uno de los señalamientos más importantes de Levi-Civita a Einstein es el cambio de sistemas de coordenadas del tensor que representaba el campo electromagnético. La contribución de Levi-Civita fue crucial, no solo por las correcciones a Einstein en el desarrollo tensorial, sino, además, por la propuesta que ofrece al problema de transportar dos vectores paralelos a lo largo de una curva como concepto nuevo a incorporarse dentro de la geometría de Riemann.5

De esta manera, el 25 de noviembre de 1915, después de un año marcado por crisis personales, compromisos académicos, una desencarnada carrera contra el tiempo (y contra Hilbert) por deducir las ecuaciones de campo gravitacional Einstein presentaba la generalización de la teoría de la relatividad bajo una densa notación tensorial.

Donde el miembro de la izquierda –Tensor de Einstein– describe la geometría de un espacio-tiempo que se deforma en presencia de objetos masivos. El miembro de la derecha describe la distribución de energía y materia en el campo gravitatorio. La interacción entre ambos determina cómo curvan los objetos el espacio-tiempo y cómo se mueven los objetos como consecuencia de esa curvatura.

Nacía la teoría general que pasaba a redefinir la noción de gravedad. En lugar de aparecer la gravedad como una fuerza entre dos masas, la gravitación surge como consecuencia geométrica del espacio-tiempo. Según la relatividad general, la materia y la energía curvan el espacio-tiempo modificando las trayectorias de los objetos que se mueven. En otras palabras, Einstein había enseñado que el espacio y el tiempo no son independientes, sino que son una única entidad; espacio-tiempo no es un contenedor o marco de objetos y sucesos. Sus avances y sus logros no fueron en solitario. Como se ha visto la ayuda de Levi-Civita, Riemann, Grossmann, entre otros tantos, aportaron lo mejor de sus habilidades para el nacimiento de la teoría más hermosa de la física: la teoría relativista.

Si bien Einstein sembró la semilla para la ruptura del paradigma gravitacional de Newton, la disposición y contribución de quienes le acompañaron no resulta menor, sino que, debe ser recordada y valorizada.

Notas

1 El esfuerzo intelectual llevaría a Einstein al borde de una crisis nerviosa. Su estado mental y el nivel de su frustración se perciben en los comentarios que hizo a sus amigos durante estos años. A Paul Ehrenfest le manifestaba su preocupación por 'haber perpetrado una vez más algo relativo a la teoría de la gravitación que de algún modo me expone al peligro de ser confinado en un manicomio' (CPAE, Doc. 441). Las traducciones son propias.
2 Puede revisarse para un estudio más profundo Principios de una teoría de formas diferenciales cuadráticas, y Sobre los Parámetros e Invariantes de Formas Cuadráticas Diferenciales.
3 Puede revisarse para un estudio más profundo en las publicaciones: Sobre la derivación covariante a una forma cuadrática diferencial, y en Sopra ciertos sistemas of functions.
4 Puede revisarse para un estudio más profundo Direcciones principales e invariantes en cualquier variedad.
5 En 1925, Levi-Civita publica una ampliación del transporte paralelo con la introducción de los símbolos de Christoffel. Postulación de suma importancia para la teoría relativista. Presentar la evolución del desarrollo matemático de Levi-Civita escapa a los objetivos de esta investigación; sin embargo, se considera que el lector debe conocer el rol clave de Levi-Civita en el logro final de la teoría relativista. Puede revisarse para este fin el artículo de Umberto Bottazzini Ricci and Levi-Civita: From Differential Invariants to General Relativity compilado por Gray (1999).